热加尔金多项式

热加尔金多项式(zhegalkin polynomial)

Zhegalkin（也称为Zegalkin或Gegalkine）多项式构成了布尔代数运算的众多可能表示之一。 由俄罗斯数学家I介绍。I. Zhegalkin在1927年，它们是在整数mod 2上解释的普通高中代数的多项式。模算术的退化导致Zhegalkin多项式比普通多项式更简单，既不需要系数也不需要指数。 系数是冗余的，因为 1 是唯一的非零系数。指数是多余的，因为在算术模2中，"x"2="x"。因此，像3"x"2"y"5"z 这样的多项式是一致的，因此可以重写为"xyz"。

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布尔等效项

在1927年之前，布尔代数被认为是逻辑真值的演算，具有合取，析取，否定等逻辑运算。 Zhegalkin证明了所有的布尔运算都可以写成普通的数值多项式，将逻辑常数0和1视为整数mod 2.合取的逻辑运算被实现为乘法"xy"的算术运算，逻辑独占-或算术加法mod 2，其中我们将在这里写为"x"⊕"y" 以避免与通常使用+作为&or的同义词混淆; （包括-或）。逻辑补充与不是;"x"则从 1 和&oplus派生;如"x"⊕1.自&和;和&不;形成整个布尔代数的充分基础，这意味着所有其他逻辑运算都可以作为这些的复合物获得基本运算，由此推断，普通代数的多项式可以表示所有布尔运算，允许执行布尔推理可靠地诉诸于熟悉的高中代数定律，而没有与高中代数的差异分散注意力以析取代替加法 mod 2而产生。

一个示例应用程序是将布尔 2- 出 - 的 -3阈值或中位数运算表示为Zhegalkin 多项式"xy"⊕"yz"⊕"zx "，当至少两个变量为 1 时为 1，否则为0。

形式属性

形式上，"哲加尔金单项式"是有限不同变量集合（因此平方 -自由）的乘积，包括其乘积记为 1.在 ^"n" 个变量中有 2个可能的 Zhegalkin 单项式，因为每个单项式完全由每个变量的存在或不存在来指定。"焇伽尔金多项式"是一组椿伽尔金单项式之和（独占-或），其中空集用 0表示。 一个给定的单项式 '在多项式中存在或不存在对应于该单项式's 系数分别为 1 或 0 。热加尔金单项式是线性独立的，跨越伽罗瓦场GF（2）上的^2"n"-维向量空间（注意：不是 GF（2"n"），其乘法是完全不同的）。这个空间的^2"n" 向量，i。 这些单项的线性组合作为单位向量，构成哲加尔金多项式。与"n"个变量上的布尔运算数的精确一致性，这些运算耗尽了{0，1}上的"n"-ary运算，提供作为布尔基的热加尔金多项式的完备性的直接计数参数。

这个向量空间不等价于 "n" 生成元上的自由布尔代数，因为它缺少补集（按位逻辑否定）作为运算（ 等价，因为它缺少顶部元素作为常量）。这并不是说空间在补集下不是闭合的，或者缺少顶部（全-一向量）作为元素，而是说这个空间和类似构造空间的线性变换不需要保留补集和顶。那些保留它们的对应于布尔同态，e。从一个变量上的日加尔金多项式的向量空间到无变量的向量空间有四个线性变换，其中只有两个。 是布尔同态。

相关工作

与热加尔金的论文同年（1927年），美国数学家E.贝尔发表了一个基于戴德金理想理论和一般模算术（而不是算术mod）的布尔代数的复杂算术化。2）.热加尔金多项式的更简单的算术特征在西方首次被注意到（独立地，苏联和西方数学家之间的交流是非常有限的那个时代），由美国数学家马歇尔·斯通在1936年，当他在写下他着名的斯通对偶性时观察到定理，布尔代数和环之间所谓的松散类比实际上可以表述为两者的精确等价性有限代数和无限代数，导致他实质性地重组了他的论文。

引用